Множество полученное в результате операции содержит элементов

Веще́ственное, или действи́тельное число множество полученное в результате операции содержит элементоввозникший из потребности и величин окружающего мира, а также проведения таких вычислительных операций, каквычислениерешениеисследование поведения функций. Если возникли в процессе счета, — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело ко множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые. Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи. Если на прямой выбрать направление, и для измерения отрезков, множество полученное в результате операции содержит элементов каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве множества вещественных чисел. Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Ещё в школекоторая в основу всего ставила их отношения, было открыто существование несоизмеримых величин несоизмеримость стороны и диагонали квадратато есть в современной терминологии — чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого понятия. Лишь во второй половине XIX века, когда развитие потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах была создана строгая теория вещественных чисел. С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел —. Это определение, или эквивалентная системав точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью донепрерывное упорядоченное. Однако вскоре выяснилось, что для целей геометрии и астрономии этого недостаточно: например, отношение длины к длине его стороны не может быть представлено ни натуральным, ни рациональным числом. Для выхода из положения ввёл, в дополнение к числам, более широкое понятието есть длины отрезка, площади или объёма. Теория Евдокса дошла до нас в изложениикнига По существу, теория Евдокса — это геометрическая модель вещественных чисел. С современной точки зрения, число при таком подходе есть отношение двух однородных величин — например, исследуемой и единичного эталона. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней множество полученное в результате операции содержит элементов — он не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин. Классическая теория для построения вещественных чисел по своим принципам чрезвычайно похожа на изложение Евдокса. Однако модель Евдокса неполна во многих отношениях — например, она не содержитнет общей теории арифметических операций для величин или их отношений и др. Ситуация начала меняться в первые века н. Ужевопреки прежним традициям, рассматривает дроби так же, как и натуральные числа, а в IV книге своей «Арифметики» даже пишет об одном результате: «Число оказывается не рациональным». После гибели античной науки на передний план выдвинулись и математики, для которых любой результат измерения или вычисления считался числом. Эти взгляды постепенно взяли верх и в средневековой Европемножество полученное в результате операции содержит элементов поначалу разделяли рациональные и буквально: неразумные числа их называли также мнимыми, абсурдными, глухими и т. Полное уравнение в правах иррациональных чисел связано с трудами конец XVI векакоторый провозгласил : Мы приходим множество полученное в результате операции содержит элементов выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью. Он же, с некоторыми оговорками, легализовала также развил теорию и символикукоторые с этого момента начинают вытеснять неудобные. Спустя столетие в своей «» даёт классическое определение вещественного числа как отношения результата измерения к единичному эталону : Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу. Долгое время это прикладное определение считалось достаточным, так что практически важные свойства вещественных чисел и функций не доказывались, а считались интуитивно очевидными из геометрических или соображений. Например, считался самоочевидным тот факт, чтоточки которой расположены по разные стороны от некоторой прямой, пересекает эту прямую. Строгое определение понятия непрерывности также отсутствовало. Как следствие, немало теорем содержали ошибки, нечёткие или чрезмерно широкие формулировки. Даже после того, как разработал достаточно строгий фундаментположение не изменилось, поскольку теории вещественных чисел, на которую обязан был опираться анализ, не существовало. Из-за этого Коши сделал немало ошибок, положившись на интуицию там, где она приводила к неверным выводам: например, он полагал, что сумма ряда из непрерывных функций всегда непрерывна. В этой пионерской работе ещё нет целостной системы вещественных чисел, но уже приводится современное определение непрерывности и показывается, что на этой основе множество полученное в результате операции содержит элементов, упомянутая в заглавии, может быть строго доказана. В более поздней работе Больцано даёт набросок общей теории вещественных чисел, по идеям близкой кно эта его работа осталась неопубликованной при жизни автора и увидела свет только в 1851 году. Взгляды Больцано множество полученное в результате операции содержит элементов опередили своё время и не привлекли внимания математической общественности. Современная теория вещественных чисел была построена во второй половине XIX века, множество полученное в результате операции содержит элементов первую очередь трудамии. Они предложили к теории этой важнейшей математической структуры и окончательно отделили это понятие от геометрии и механики. Существенным отличием между вещественными числами и этими построенными объектами является то, что первые, в отличие от вторых, понимаются нами лишь интуитивно и пока не являются строго определённым математическим понятием. Эти объекты и объявляют вещественными числами. Для них вводят основные арифметические операции, определяют отношение порядка и доказывают их свойства. Исторически первыми строгими определениями вещественного числа были именно конструктивные определения. В 1872 году были опубликованы одновременно три работы: теория фундаментальных последовательностейтеория в современном варианте — теория бесконечных десятичных дробей и теория сечений в области рациональных чисел Дедекинда. Чтобы последовательность рациональных чисел сходилась, на неё накладывается : Смысл этого условия заключается в том, что члены последовательности, начиная с некоторого номера будут лежать сколь угодно близко друг от друга. Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называются фундаментальными. Вещественное число, определяемое фундаментальной последовательностью рациональных чиселобозначим. Два вещественных числа иопределённые соответственно фундаментальными последовательностями иназываютсяесли Если даны два вещественных числа ито их суммой и произведением называются числа, определённые соответственно суммой и произведением последовательностей и : на множестве вещественных чисел устанавливается посредством соглашения, в соответствии с которым число по определению больше числато естьесли Способ построения множества вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей рациональных чисел является частным случаем конструкции пополнения произвольного. Как и в общем случае, полученное в результате пополнения множество вещественных чисел само уже является полным, то есть содержит пределы всех фундаментальных множество полученное в результате операции содержит элементов своих элементов. Бесконечная десятичная дробь интерпретируется как такое число, которое на числовой прямой лежит между рациональными точками вида и для всех Сравнение вещественных чисел в форме бесконечных десятичных дробей производится поразрядно. Например, пусть даны два неотрицательных числа Еслито ; если то. В случае равенства переходят к сравнению следующего разряда. Еслито после конечного числа шагов встретится первый разрядтакой что. Еслито ; если то. Однако, при этом следует учитывать, что число. Поэтому если запись одного из сравниваемых чисел, начиная с некоторого разряда, представляет собой периодическую десятичную дробь, у которой в периоде стоит 9, то её следует заменить на эквивалентную запись, с нулём в периоде. Арифметические операции над бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел и называется вещественное числоудовлетворяющее следующему условию: Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей. Сечением в множестве рациональных чисел называется всякое разбиение совокупности всех рациональных чисел на два непустых класса — нижний и верхнийтак что каждое число из нижнего класса строго меньше всякого числа из верхнего: Если существует множество полученное в результате операции содержит элементовкоторое является максимальным в нижнем классе, либо минимальным в верхнем классе, то это число разделяет множества и : числа нижнего и верхнего классов лежат по разные стороны от. Говорят также, что рациональное число производит данное сечение множества рациональных чисел. Если же в нижнем классе сечения нет максимального элемента, а в верхнем — минимального, то не существует никакого рационального числа, которое разделяло бы множества и. В этом случае по определению полагают, что данное сечение определяет некоторое иррациональное числокоторое находится между нижним и верхним классами, и тем самым производит данное сечение. Иначе говоря, для всякого сечения, не производимого никаким рациональным числом, вводят новый объект — иррациональное число, которое по определению больше всякого числа из нижнего класса и меньше всякого числа из верхнего класса: Объединение всех рациональных и всех иррациональных чисел называют множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами. Арифметические операции над вещественными числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами. В вещественные числа — классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел, в — бесконечные десятичные дроби, в — сечения в области рациональных чисел. Во всех этих подходах в результате мы получаем некоторое множество объектов вещественных чиселобладающих определёнными свойствами: их можно складывать, умножать, сравнивать между собой. Более того, коль скоро установлены свойства этих объектов, мы можем больше не апеллировать к тем конкретным конструкциям, с помощью которых они были построены. В важна не конкретная природа объектов, а лишь математические соотношения, существующие между ними. Для человека, который исследует математическое понятиебезразлично, о чём говорить — о трёх яблоках или о трёх камнях, их съедобность или несъедобность значения не имеет. В процессе отвлечения от несущественных признаков, то есть abstractio — отвлечениеон приходит к тому общему, что есть у трёх яблок и трёх камней — количеству элементов. Так возникает абстрактное понятие. С этой точки зрения три яблока и три камня — две конкретные реализации модели абстрактного понятия «число три». Точно так же классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел, бесконечные десятичные дроби, сечения в области рациональных чисел являются лишь конкретными реализациями, моделями вещественного числа. А само понятие вещественного числа определяется существующими для него математическими соотношениями. Коль скоро они установлены, определено и понятие вещественного числа. Здесь уместно привести знаменитое высказываниеосновоположника системного в математике, который, имея в видукак-то заметил: Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках. Также, на множестве определено отображение операция умножения сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из некоторый элементназываемый произведением и. При этом имеют место следующие свойства. Для любых Ассоциативность сложения. Для любых Существование нуля. Существует элементназываемый множество полученное в результате операции содержит элементов, такой, что для любого Существование противоположного элемента. Для любого существует элементназываемый противоположным ктакой, что Коммутативность умножения. Для любых Ассоциативность умножения. Для любых Существование единицы. Существует элементназываемый единицей, такой, что для любого Существование обратного элемента. Для любого существует элементобозначаемый также и называемый обратным ктакой, что Дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Для любых Нетривиальность поля. При этом имеют место следующие свойства. Для любых Линейная упорядоченность. Для любых Связь сложения и порядка. Для любых Связь умножения и порядка. На языке современной алгебры аксиомы первой группы означают, что множество является. Аксиомы второй группы — что множество является —причём отношение порядка согласовано со структурой поля —. Множества, удовлетворяющие аксиомам первой и второй группы, называются. Наконец, последняя группа, состоящая из одной аксиомы, утверждает, что множество вещественных чисел обладает свойствомкоторое также называют полнотой. Резюмируя, можно дать эквивалентное определение множества вещественных чисел. Множеством вещественных чисел называется непрерывное упорядоченное поле. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Например, вместо аксиомы непрерывности можно использовать любое другое эквивалентное ей условие, или группу условий. Например, в системе аксиом, предложенной Множество полученное в результате операции содержит элементов, аксиомы групп ипо существу, те же, что и в приведённые выше, а вместо аксиомы используются следующие два условия:. Тогда элемент можно повторить слагаемым столько раз, чтобы образовавшаяся в множество полученное в результате операции содержит элементов сумма превзошла : Аксиома полноты в смысле Гильберта. Систему невозможно расширить ни до какой системытак чтобы при сохранении прежних соотношений между элементамидля выполнялись бы все аксиомы —. Таким образом, можно дать следующее эквивалентное определение: Определение. Множество вещественных чисел есть максимальное архимедово упорядоченное поле В качестве другого примера аксиоматизации вещественных чисел можно привестисостоящую всего из 8 аксиом. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Возникает закономерный вопрос, насколько часто на числовой прямой попадаются рациональные и вещественные числа и можно ли одни числа приблизить другими. Ответ на этот вопрос дают множество полученное в результате операции содержит элементовоснованные, в основном, на. Для любого вещественного числа и любого наперёд взятого положительного рационального расстояния найдётся пара рациональных чисел, отстоящих друг от друга менее, чем на это расстояние, таких что вещественное число лежит на между этими множество полученное в результате операции содержит элементов числами. Эта лемма говорит о том, что любое вещественное число можно с заданной точностью с двух сторон приблизить рациональными числами. Между любыми двумя различными вещественными числами содержится рациональное число. Очевидным следствием из этой леммы является тот факт, что между любыми двумя несовпадающими вещественными числами содержится целое бесконечное множество рациональных. Кроме того, ещё более очевидно, что между любыми двумя различными рациональными числами содержится вещественное. Приближение вещественного числа рациональными, описанное в лемме 1, идентифицирует вещественное число единственным образом. Эти леммы прежде всего говорят о том, что множество вещественных чисел не такое «плотное» по сравнению с множеством рациональных чисел, как может показаться. Особенно ярко это иллюстрирует лемма 2. Все три леммы активно используются для доказательства различных теорем, связанных с операциями сложения и умножения вещественных чисел. Чтобы показать несчётность всего множества вещественных чисел, достаточно показать несчётность. Пусть все числа указанного промежутка уже занумерованы некоторым образом. Тогда их можно выписать в следующем виде: Здесь — -я -ого числа. Очевидно, что все числа указанного вида действительно принадлежат рассматриваемому промежутку, если только в каждом числе не все цифры сразу являются или. Далее предлагается рассмотреть следующее число: Пусть каждая цифра этого числа удовлетворяет следующим трём свойствам: Такое множество полученное в результате операции содержит элементов действительно существует на указанном промежутке, так как оно является вещественным, не совпадает ни с нулём, ни с единицей, а десятичных цифр достаточно, чтобы третье свойство выполнялось. Кроме этого, интересно тем множество полученное в результате операции содержит элементов, что оно не совпадает ни с одним из чиселвыписанных выше, ведь иначе -я цифра числа совпала бы с -ой цифрой числа. Пришли к противоречию, заключающемуся в том, что как бы числа рассматриваемого промежутка ни были занумерованы, всё равно найдётся число из этого же промежутка, которому не присвоен номер. Это свидетельствует о том, что множество вещественных чисел не является. Непосредственно к полю примыкают следующие варианты обобщённых числовых систем. Особенно плодотворны в и. Используются преимущественно в теории и в. Однако это не главное её применение, потому что реально измеренные величины всегда имеют конечное число десятичных знаков, то есть являются рациональными числами. Основное назначение этой модели — служить базой для методов исследования. Огромный успех этих методов за последние три века показал, что модель вещественных чисел в большинстве случаев достаточно адекватно отражает структуру непрерывных физических величин. Сказанное, конечно, не означает, что вещественная числовая прямая есть точный образ реальной непрерывной величины. Например, современной науке пока не известно, дискретны ли пространство и время или делимы неограниченно; однако даже во втором случае модель вещественных чисел для этих величин должна рассматриваться как приближённая, поскольку понятия точки пространства и момента времени представляют собой идеализации, не имеющие реального аналога. Этот фундаментальный вопрос широко обсуждается в науке, начиная с. Приближённой эта модель является и в применении к величинам, которые в рассматривались как непрерывные, но в действительности оказались дискретными квантуемыми. Исторически в Московской математической школе использовали термин действительное число, а в Ленинградской — вещественное число. В качестве примера можно привести две классические работы: Лузин, Теория функций действительного переменного. Московская школа Натансон, Теория функций вещественной переменной. Ленинградская школа В современных университетских учебниках употребляются оба термина: Зорич Курс дифференциального интегрального исчисления. Очерки по истории математики. Очерки по истории математики. Очерки по истории математики. Очерки по истории математики. Очерки по истории математики. Хрестоматия по истории математики. Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида Рид Очерки по истории математики. Основы математического анализа: В 2-х ч. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Рекомендуемая литература из истории становления понятия вещественного числа: Даан-Дальмедико Очерки по истории математики. История математики под редакцией в трёх томах, Том 1 Том 2 Том 3 Подробное изложение теории построения вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей, а также теории построения вещественных чисел с помощью сечений в множество полученное в результате операции содержит элементов рациональных чисел можно найти в следующей: Арнольд Желающим познакомиться с оригинальным ходом мысли самого Дедекинда можно порекомендовать брошюру, в которой в 1872 году Дедекинд изложил свою теорию вещественного числа. Эта книжка на сегодняшний день остаётся одним из самых лучших и доступных изложений предмета. Имеется русский перевод: Дедекинд, Построение теории вещественного числа с помощью бесконечных десятичных дробей можно найти в книгах: Тер-Крикоров Основы математического анализа: В 2-х ч. Сущность аксиоматического метода и его сравнение с конструктивным подходом изложены Гильбертом на нескольких страницах в «Дополнении VI. О понятии числа» в следующем издании классической работы: Гильберт Текст доступен по ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак некоммерческой организации.



COPYRIGHT © 2010-2016 klub1899.ru